الرياضيات المتناهية الأمثلة

$f (x) = (- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15)$

خطوة 1

أوجِد نقاط التقاطع مع المحور السيني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لإيجاد نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني، عوّض بـ $0$ عن $y$ وأوجِد قيمة $x$ .

$0 = - x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$

خطوة 1.2

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15 = 0$ .

$- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15 = 0$

خطوة 1.2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

حلّل $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

خطوة 1.2.2.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

خطوة 1.2.2.1.3

عوّض بـ $1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.3.1

عوّض بـ $1$ في متعدد الحدود.

$- 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

خطوة 1.2.2.1.3.2

ارفع $1$ إلى القوة $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

خطوة 1.2.2.1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

خطوة 1.2.2.1.3.4

ارفع $1$ إلى القوة $2$ .

$- 1 + 3 \cdot 1 + 13 \cdot 1 - 15$

خطوة 1.2.2.1.3.5

اضرب $3$ في $1$ .

$- 1 + 3 + 13 \cdot 1 - 15$

خطوة 1.2.2.1.3.6

أضف $- 1$ و $3$ .

$2 + 13 \cdot 1 - 15$

خطوة 1.2.2.1.3.7

اضرب $13$ في $1$ .

$2 + 13 - 15$

خطوة 1.2.2.1.3.8

أضف $2$ و $13$ .

$15 - 15$

خطوة 1.2.2.1.3.9

اطرح $15$ من $15$ .

$0$

خطوة 1.2.2.1.4

بما أن $1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15}{x - 1}$

خطوة 1.2.2.1.5

اقسِم $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ على $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$15$

خطوة 1.2.2.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$

خطوة 1.2.2.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

خطوة 1.2.2.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- x^{3} + x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

خطوة 1.2.2.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

خطوة 1.2.2.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$

خطوة 1.2.2.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$

خطوة 1.2.2.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

خطوة 1.2.2.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 x^{2} - 2 x$

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

خطوة 1.2.2.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$

خطوة 1.2.2.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$

خطوة 1.2.2.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $15 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$

خطوة 1.2.2.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	-	$15$

خطوة 1.2.2.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $15 x - 15$

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$

خطوة 1.2.2.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$
										$0$

خطوة 1.2.2.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$- x^{2} + 2 x + 15$

خطوة 1.2.2.1.6

اكتب $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x - 1) (- x^{2} + 2 x + 15) = 0$

خطوة 1.2.2.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ ومجموعهما $b = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$(x - 1) (- x^{2} + 2 (x) + 15) = 0$

خطوة 1.2.2.2.1.1.2

أعِد كتابة $2$ في صورة $- 3$ زائد $5$

$(x - 1) (- x^{2} + (- 3 + 5) x + 15) = 0$

خطوة 1.2.2.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(x - 1) (- x^{2} - 3 x + 5 x + 15) = 0$

خطوة 1.2.2.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(x - 1) ((- x^{2} - 3 x) + 5 x + 15) = 0$

خطوة 1.2.2.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(x - 1) (x (- x - 3) - 5 (- x - 3)) = 0$

خطوة 1.2.2.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- x - 3$ .

$(x - 1) ((- x - 3) (x - 5)) = 0$

خطوة 1.2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x - 1) (- x - 3) (x - 5) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 1 = 0$

$- x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 1.2.4.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $- x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $- x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- x - 3 = 0$

خطوة 1.2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $- x - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$- x = 3$

خطوة 1.2.5.2.2

اقسِم كل حد في $- x = 3$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = 3$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

خطوة 1.2.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{3}{- 1}$

خطوة 1.2.5.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{3}{- 1}$

خطوة 1.2.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.2.3.1

اقسِم $3$ على $- 1$ .

$x = - 3$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 5 = 0$

خطوة 1.2.6.2

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 5$

خطوة 1.2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 1) (- x - 3) (x - 5) = 0$ صحيحة.

$x = 1, - 3, 5$

خطوة 1.3

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني بصيغة النقطة.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني: $(1, 0), (- 3, 0), (5, 0)$

خطوة 2

أوجِد نقاط التقاطع مع المحور الصادي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لإيجاد نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي، عوّض بـ $0$ عن $x$ وأوجِد قيمة $y$ .

$y = - {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

خطوة 2.2

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

احذِف الأقواس.

$y = - {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

خطوة 2.2.2

احذِف الأقواس.

$y = - 0^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

خطوة 2.2.3

احذِف الأقواس.

$y = - 0^{3} + 3 \cdot 0^{2} + 13 (0) - 15$

خطوة 2.2.4

احذِف الأقواس.

$y = - {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

خطوة 2.2.5

بسّط $- {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$y = - 0 + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

خطوة 2.2.5.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$y = 0 + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

خطوة 2.2.5.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$y = 0 + 3 \cdot 0 + 13 (0) - 15$

خطوة 2.2.5.1.4

اضرب $3$ في $0$ .

$y = 0 + 0 + 13 (0) - 15$

خطوة 2.2.5.1.5

اضرب $13$ في $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 15$

خطوة 2.2.5.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$y = 0 + 0 - 15$

خطوة 2.2.5.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$y = 0 - 15$

خطوة 2.2.5.2.3

اطرح $15$ من $0$ .

$y = - 15$

خطوة 2.3

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي بصيغة النقطة.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي: $(0, - 15)$

خطوة 3

اسرِد التقاطعات.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني: $(1, 0), (- 3, 0), (5, 0)$

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي: $(0, - 15)$

خطوة 4